あなたの中にあるコールオプションを見つけて欲しい

前回の投稿 – 大切なことは(実は)ギャンブルが教えてくれる: 集中と分散の両取りと「良い宗教」による演繹はそれ以前の筆者のブログ記事とは桁違いの反響があった。記事に対する意見・質問などはtwitterなどで直接コメント頂いた方を除いて把握していないが、いわゆるpageviewは日頃の記事よりも非常に大きかった。Positive skewnessがもたらす良い方のoutlierの果実をどう取り入れていくのかがメインテーマだったが、wordpress.comに付属しているアクセス解析を見る限りは、この記事自体がoutlierだったようである。

今回はその鏡像である悪い方のoutlier, negative skewnessとどう付き合っていくべきか、少し暗い(?)話をしてみようと思う。その上で、一見negative skewedな報酬しかないように見える環境にも、実はpositive skewedなものが隠れていることがある、アップサイドがないなどと諦めず、読者個人の自分なりの分析をもとにpositive skewnessを見つけ出して欲しいというのが今回のメインメッセージである。

いつものスタイルであるが、メインメッセージ以外にも事例をかなり入れて分量を多くしてある。無理に一度に読まず回数を分けて理解してもらえれば幸いである – そもそも次回の投稿は当分先であるだろうから。社会に広く散見される問題が、skewnessを軸に共通化して議論できて一連のトピックがつながることを体感して頂きたいと思っている。

金融市場においては、多くのリスクプレミアムにはnegative skewness が付きまとっている [1]。投資戦略に関するファイナンス論文をいくつか読むと、小さな利益を積み重ねるが時々大きな損失を被る、ただしそれまで積み重ねた利益を全て吹き飛ばすほどではなく期待値はプラスである性質をもった投資戦略が多いことに気づくだろう。保険販売ビジネスと類似した収益構造である。実は、特に複利で利益を増やす場合において、negative skewnessは多くの問題をもたらすことを最初に数値例で紹介する。たとえば(方向中立な)トレンドフォロー戦略のようにpositive skewedかつ期待値がプラスになるようなリスクプレミアム [2] が手に入れば無理してnegative skewedな資産と付き合わなくても良いのだが、positive skewedなプレミアムを見つけることは想像以上に難しい。一方negative skewedなものは比較的簡単に見つかる。

  • 筆者が機械学習を使って戦略を組む際に、人から要求されずとも強く意識していることの一つに、目的関数や特徴エンジニアリングをいじることでskewnessをゼロか正の値に持っていけないか絶えず探求する、というものがある
  • たとえ同じデータセットを扱っていても、モデルのフォーカスを変えることで違ったタイプの戦略が見つけられることがあり、この仕事の楽しさの一つでもある

この一年半の金融業界での労働経験 (職場にはいわゆる投資銀行から移ってきた人が多く在籍しており、投資銀行出身者の多くは金融業界でのみ働いてきた) も踏まえて、ここで筆者が思い出すのは、現職への転職を決断する際に助言をくれた起業家友人のコメントだ。 「金融業界人はメンタリティが似過ぎていて問題だ」と。この「似過ぎたメンタリティ」はnegative skewedな戦略を選択せざるを得ない市場の厳しさに起因しているのではないかというのが筆者の仮説である。そして、このnegative skewedなプレミアムを稼ぐしかない環境は実は金融業界に限らず広く世界に蔓延していて、日本の職場のモラルの低さもこれと関係しているのではないかという仮説を後半では議論していく。

  • この起業家友人は、自身の広範なビジネス人脈から金融業界の問題を知っている。非金融出身者であるお前の強みを生かすべきだという激励も含めてこうコメントしたのだろう
  • 日本の労働者のモラルについては、実際に日本で働いている読者諸賢は自分にはガッツがあると反論するだろうし、本ブログのような奇妙なコンテンツを読んでくださる方の多くは実際そうだと思う
  • しかし最初の職場でB2Bのビジネスに関わった筆者の目には、多くの日本企業従業員の士気の低さは顕著に映った。これは労働者個人のインセンティブと関係があり後述する

Positive skewedな戦略を見つける実務的困難さと、金融業界の人間が良い意味だけでなく時々は悪い意味でも保守的なこととの間には、双方向にいくらかの因果関係があるのではないかと感じている。野心的で、確率は低いが成功時にはとてつもない報酬がある目標を目指すのではなく、成功確率は高くとも報酬はほどほどのことに集中して挑戦を諦める人、成功者は運が良かっただけと切り捨てる皮肉屋に転落してしまう人は、過去の自分の失敗を思い出すのが辛いのかもしれない。「自分も若かったときは夢を持ってpositive skewed戦略を探したが不可能だった。ベンチャー起業、一攫千金な話は確かに夢があるが、その実態は政府発行宝くじを買うのと同じで期待値がマイナスなのだ」と。Skewnessの正負と期待値の正負は別個の概念であるが、金融市場での取引の多くはnegative skewedでプラス期待値か、positive skewedでマイナス期待値のポジションが多いため、この見かけの相関からpositive skewedだと「常に」期待値がマイナスだと過剰一般化してしまったのかもしれない。Positive skewedだと「多くの場合は」期待値がマイナスであるものの常にそうとは限らない。しかし日頃の労働で認知資源を使い切ってしまった彼らには、「常に」と「多くの場合」の違い、数少ない例外について塾考する余裕がないのかもしれない。

今日のSummary

  • 複利でのものごとを考えない一部の学者・銀行家が本来は合理的な選択を非合理であると言っていることがある。Skewnessの役割を理解することが鍵であり、期待値がたとえプラスでもnegative skewedな投資はpositive skewedなものより小さく賭ける必要がある
  • Positive skewedな起業家とnegatie skewedなサラリーマンの違いはペイオフの構造がコール買いかプット売りかの違いであり、どちらが無条件で優れているということはない
  • 日本のサラリーマンの無気力の根源はペイオフが極端にプット売りに偏っていることにある。従業員個人は合理的に行動しているだけで彼らを非難するのは的外れである
  • プット売りをしている従業員個人には、テールリスクを抑えるDOTMプットを買う投資が過剰に魅力的に移ってしまい、日本社会全体では大きなコストを払う羽目に陥っている。経営者は労働者にコールオプションを売ってインセンティブ構造を変えなくてはいけない
  • 労働者個人も絶望せずに、自分の仕事の中に隠れたコールオプションを探してほしい
    • 金銭のアップサイドがある(=コール買いしている)経営者は実はスキルのダウンサイドを負っている(=プット売りしている)
    • 金銭をプット売りしているサラリーマンは実はスキルのコール買いをしている
  • ただし無節操なコール買いにも問題はある。「労働者のチャレンジ精神を奪う」と非難されることの多い福祉国家システムの実態は株式のロング + プット買いであるプロテクティブ・プット・ポジションであり、ダウンサイドが限定されることでむしろ国民を過剰にリスクテイクさせる傾向がある(=Kelly Criterionを超えて投資してしまう二流ギャンブラー)。福祉政策を推進したい左派政治家・経済学者は、国民のやる気の減退リスクという右派からの的外れの批判よりも過剰投資問題の方に真剣に回答すべきである
  • 負の側面が目立つプット売りも、それを行なっている人たちは社会的には大きな役割を担っている。Negative skewedな投資自体を否定するよりも、むしろnegativeなテールリスクを負う義務が生じた人たちへの社会的理解は大切である。Skewnessはcounterparty間で常に鏡像の関係にある
  • 高次モーメントが発散するような極端にテールリスクの大きい投資を、期待値がプラスであることだけを根拠に合理化し、テールリスクを避けている市政の人を「非科学的」と罵る人を見かけることがある。モーメントが発散する投資は期待値がプラスでも「長期的には我々はみな死んでいる」状況でruinを避けることができない。Kelly Criterionが示唆する許容可能投資水準を例えば参考にして、科学的だと思われている政策提言にも非科学性が隠されていることを認め、専門家は常に自らの判断を再考していく必要がある

行動経済学者が「非合理的」と言ったら疑おう

まず最初に紹介するのは、前回導入したKelly Criterionの、skewedな場合への拡張である。一般の連続値確率分布のケースを導入するのはしきい高く感じる読者もいるだろうから、離散化した単純例を導入しよう。ここでは次の二つのクジのどちらが魅力的か考えてもらいたい。現実世界とは違って確率分布が事前に完全にわかっているため、帰納につきまとう推定誤差のことは忘れて、今は演繹的思考に集中してもらえば幸いである。

  • くじA: 5%の確率で掛け金を全額失う。90%の確率で掛け金の10%を手に入れる (1.1倍になって戻ってくる)。残り5%の確率で掛け金の20%を手に入れる (1.2倍になる)
  • くじB: 5%の確率で掛け金の11.5%を失う (0.885倍になる)。90%の確率で掛け金の1.5%を失う (0.9985倍)。残り5%の確率で掛け金の108.5%を手に入れる (2.085倍)

くじAとくじBは一度選んだらもう片方は二度と選択できない、ただし選んだクジにいくら賭けるかは自分でコントロール出来て、選んだ方の賭けを何回でもやることができるとしたら、貴方にはどちらが魅力的だろうか? 筆者の回答を見る前に少し考えてみてほしい。


行動意思決定論―経済行動の心理学

くじAは大概の場合は少し儲かるが低い確率で大きな損失を被る。一方のくじBに賭け続けると長い間少しずつお金がなくなっていくが、たまに大きな利益を得る。

筆者にはくじBの方が魅力的である。直感の時点でそうであるし、数理的に分析してみても同じ結論だ。しかし学会等で業界が長い人と雑談してみると逆の観察が得られる。一部の経済学者 (このケースでは行動経済学者が該当する)や銀行家は、くじBをくじAよりも選好する筆者は非合理的であるとのたまうのである。これを最初に聞いたときには正直驚いた。本当にそう思っているのか? 筆者を騙してお金をむしり取るために、銀行家たる彼らはバカのフリをしているだけで、実は彼らもBを選ぼうとしているのではないか? 貴重なくじBへの投資機会 (良い投資機会というのはそんなに無数にあるものではなく、普通は誰がそのプレミアムを取るのかの競争になる) を筆者に渡さないために、Aが魅力的であるという屁理屈をでっち上げて騙そうとしてるのでは? それとも、仕事上パワハラか何かを受け続けてきて正気でないなどの理由で知性が働いていないのか?

  • 幼少期より中国の歴史に親しんできた筆者としては、敵を買いかぶり過ぎて小さく失敗するのは構わないが、敵を侮って致命的な損失を負うのは恐ろしい
  • よってこういう場合は常に、相手はバカではなくて単に筆者を騙そうとしているだけである、と考えることにしている。敵は常に最強の知性を持っていると仮定する方が安全である – それこそ経済学でスタンダードに使われるゲーム理論が想定すること(=∞-stepの予測ができるエージェントで満たされた世界を仮定する)だ

彼らのロジックはこんな感じである。基礎の確率論 or 統計学で習う概念である平均と標準偏差を評価せよと。計算すると以下のとおりである。

  • くじA: 期待値 +5%, 標準偏差 24.19%
  • くじB: 期待値 +3%, 標準偏差 24.19%

「リスクの指標である標準偏差が同じで、期待値がAの方が高いのだから、Aが優れる。投資戦略の評価に使われるシャープ・レシオ(*)が くじBはくじAの60%に過ぎない。この計算結果を見てもわざわざBを選ぶのかい?」

(*) 平均を標準偏差で割ったスコアで、高ければ高いほど良い賭けであるとされる

しかしこの分析は的を射ていない。筆者の予想にすぎないのだが、金融業界に染まっていない読者諸賢の多くも同様に、別に数理的分析など講義されなくてもくじBを選んだのではないだろうか? 生半可な確率論知識こそが本来の人間の生存能力を奪ってしまう – 学校によって学生が却ってspoilされてしまうというよく聞く話 – がこんな場所でも発生するのである。

問題はこういうことだ。定額を賭け続けるのであれば確かにAを選択すべきだ。たとえば毎日このくじに1万円ずつ払うつもりであれば十分な時間たったあとには、AがBよりも大きな財産を残してくれるだろう。しかし常に調達可能と仮定されたその1万円は実際にはどこから調達してくるのか? 儲けが続いた後と、運悪くダウンサイドの5%をうけた後とで同じ金額を賭けられる保証がどこにあるだろうか。さらには、資産がたとえば1000万円規模に溜まったときも1万円、1億円溜まっても同じ1万円しか賭けないのは利率を考えると不自然なシナリオではないか? お小遣いが月500円だった小学生の頃は100円の出費を超真剣に考えていたが、月収が50万円になった今は10万円の出費を真剣に考えていることとと同じである。定額 ではなく定率で賭ける場合を考えないと非現実的なのである。

ここで前回と同様にKelly Criterionの対数期待値最大化原理が役に立つ。資産のうちどれだけの割合をくじAまたはくじBに賭けるべきだろうか? 解の導出過程は省いて数値結果だけ示すと、以下のとおりである。

  • くじA: 資産の47.40%まで賭けてよく、その場合は一回あたり+1.42%で資産が増えていく
  • くじB: 資産の100%を賭けてよい。一回あたり+1.72%で資産が増えていく
  • くじB (無利子で借金が可能な場合のレバレッジ最適解): 資産の48.85%を借金して、148.85%を賭けて良い。一回あたり+1.85%で資産が増えていく

最後のレバレッジ解は現実世界では最大ロスが完全に-11.5%で止まっていたり無利子借金できるケースが稀なので実用的ではないが、株式の代わりにコールオプションへの投資を考える場合の参考にはなる。そしてレバレッジなどかけなくても、くじBの方が複利での資産増加率がくじAより高いことが一目瞭然である。

  • なおこのくじA, Bのケースは解析的にも解くことができる。筆者は数値計算で出した
  • 今回のケースに限っては三次方程式の解の公式で解析的に導出できる。しかし現実世界の一般ケースでは確率分布はもっと複雑であり、モンテカルロ法を用いた数値計算に頼る必要がある
  • 余談だがこの手の数値計算には筆者はpythonのscipy.optimize.minimizeパッケージを愛用している – ver 1.1.0から内点法による制約つき一般非線形最適化モジュールのtrust-constr solverが入ってやれることが劇的に広がった。scikit-learnRegressorMixinクラスおよびClassifierMixinクラス, TransformerMixinクラスを拡張して内部的にはscipy.optimize.minimizeを呼び出した独自機械学習モデルクラスを作るのが筆者のスタイルである。筆者の真似はせずとも、読者諸賢も各種ソルバーの性質や利用可能制約について知っておいて損はないと思う

さて、厳密な最大資産増加率の計算はコンピューターに頼ることにはなったが、AよりBを好む直感自体は別におかしくなかったではないか。定性的にはこういうことだ: 確かにくじAはくじBよりもシャープ・レシオが高いが、一発退場のリスクがあるため一回あたりの投下可能金額に制限がある。一方くじBは、一回あたりではどんなにダメージを食らってもたかだか-11.5%で底がキャップされているため大きな金額を賭けても生き残れる。Bはたとえシャープ・レシオで負けていても、投下可能金額とシャープ・レシオの合わせ技で、シャープ・レシオ単独のAよりも優れた賭けに変わるのである。

たとえばプロスペクト理論における極小確率の過大評価 [3] など、行動経済学でアノマリー・非合理とされている人間の行動のいくらかは、生き物が本能的にpositive skewedな戦略を好むところから来ている。その副作用として、期待値マイナスが確定している政府発行宝くじまで買ってしまうのは確かに問題だが、期待値プラスのものを見つけられる前提であれば、positive skewnessの選好は長い目で見た生存と繁栄を目指す上で理にかなっている。

行動経済学者が人間の行動を非合理的といったときに、非合理的なのは直感で行動している人間の方ではなくて用いるべき解析技術を間違えた行動経済学者の方であるケースがしばしばある。筆者も以前の研究で例えば [4] で行動経済学と関わったし、行動経済学・認知心理学からは研究の幅を深める機会をもらった。なので行動経済学の既存成果を全否定する気はないが、経済学者が合理的と主張する意思決定はよく考えると実は直感よりもむしろ不合理な場合が多々あることを覚えておいてほしい。確率分布が完全に既知で帰納が不要な今回のケースでさえ、ナイーブな解析が非合理的な選択を合理化しようとした。確率分布が不完全にしかわからず帰納が混じるタスク (ヘッジファンドが扱うケースも含む) では、従来合理的とされたものが非合理的で、非合理的とされたものが実は合理的なケースがさらに増えていく。


ファスト&スロー (上)

平均・分散あるいはシャープ・レシオの罠

定額で考えた場合と定率で考えた場合で有利不利が逆転してしまう、というのは現代生活に毒されてしまった人には自明ではないようである。シャープ・レシオで劣るくじBがなぜ、くじAよりも優れていることになったのか? 答えは、Kelly Criterionの中に、同一平均・同一分散であればpositive skewedな戦略を好む性質がビルトインされているからだ。複利での資産最大化は、より経済学的表現を使えば対数効用関数 (logarithmic utility)最大化 と呼ばれる前回と同様、ある賭けの損益 (Profit & Loss: PnL)を確率変数Xであらわし、資産のうち\alphaの割合を賭けるとしよう。最大化すべき目的関数はU_p(\alpha)\triangleq{\mathbb E}_{p(X)}\left[\log (1+\alpha X)\right]である。確率変数X4次モーメントが有限であると仮定し、確率分布p(X)で積分される項をテーラー展開した上で各項を積分することで、以下の式(1)が導出される。

U_p(\alpha)=\alpha \underbrace{{\mathbb E}_{p(X)}[X]}_{mean} - \frac{1}{2}\alpha^2 \underbrace{{\mathbb E}_{p(X)}[X^2]}_{\simeq variance} + \frac{1}{3}\alpha^3 \underbrace{{\mathbb E}_{p(X)}[X^3]}_{\simeq skewness} - \frac{1}{4}\alpha^4 \underbrace{{\mathbb E}_{p(X)}[X^4]}_{\simeq kurtosis} + o(\alpha^4)    (1)

  • 4次モーメント有限の仮定は一般には成り立たず、現実にそのようなケースはしばしば存在する。そのようなクリティカルなケースではより慎重に考える必要があり、原子力発電と遺伝子操作を例として最後に議論するが最初はモーメント有限のケースで議論しよう

式(1)の第一項は確率変数Xの平均そのものに比例する。第二項は正確には(分散+平均の二乗)に比例しているが、通常この手の賭けは期待値に比べて標準偏差の方がずっとオーダーが大きい(=S/N比が小さい)ため、ほぼ分散に比例する。第三項がこれまで議論してきたskewness (歪度)と関係する。そして第四項はkurtosis (尖度)と関係する項である。小さな損失がたくさんあり大利益がたまにある確率分布では歪度はプラスの大きな値を取り、逆に小さな利益がたくさんあり大損失がたまにある確率分布では歪度はマイナスの大きな値になる。正規分布のような対称な確率分布では歪度はゼロである。尖度は確率分布の裾野の重たさを表現する統計量であり、大利益 or 大損失の確率が10%の分布よりも1%の分布の方が大きな値をとる。0.1%になれば更に大きな値をとる。

\alpha>0の場合の第一項から第四項それぞれの係数の符号を見て欲しい。効用関数U_p(\alpha)は平均が高いほど良く、分散が低いほど良く、歪度が高いほど良く、尖度が低いほど良いことがわかる。つまりKelly Criterionの最大化は、平均が高くて分散の低い(つまりシャープ・レシオの高い)投資を一応は好むが、同じシャープ・レシオなら歪度が正(positive skewed)の大きなものの方が好まれるのである。一方で前回議論した、アップサイドに魅惑されて賭けすぎる二流ギャンブラーが示唆するように、たとえpositive skewedであっても成功する場合の確率が極端に低いと四次モーメントが大きすぎて効用が落ちることにも気づくだろう。

Positive skewnessの場合は尖度が高すぎないよう注意すれば良いが、negative skewedでテールリスクがある投資は歪度の項と尖度の項の双方においてdiscourageされる。シャープ・レシオという指標は三次以降のモーメントを無視できる場合のみに有用なのであって、単にシャープ・レシオ最大の投資を選ぶといずれ痛い目に会う。モーメントに着目すると、以下を覚えておくと良い。

  • Kelly Criterionを最大化する場合は確率変数Xの全ての高次モーメントが効用に影響する。\log(1+x)をテーラー展開した場合は無限に項が継続するため
  • \alphaが小さい場合には低次モーメントだけでだいたいの投資成績が決まる。規律を持って少額を賭けている限りは統計学の基礎で習う指標だけで判断しても問題ない
  • 平均がプラスである限りは、分散やnegative skewnessが大きくても利益を上げること自体は可能である。掛け金を0.1%、0.01%といった小さい値にもっていけば一次の項しか関係しないためである。ただし最終章で議論するモーメントが発散する場合を除く
  • 高額を賭けるときに少額で賭けるときの基準を適用すると痛い目にあう。高額の賭けでは、平均のような低次モーメントよりも高次モーメントの方がクリティカルになるため

Negative skewedかつ期待値が正の賭けはたくさん存在し、規律を持って掛け金を小さくできるならそのような賭けを行っても問題はない。規律を保てなくなる原因は、多くのケースでは帰納の誤りにある。小さな成功体験を納めすぎると、真の勝率が実は95%しかないのに99%あると勘違いしたりする。その結果Kelly Criterionで許される金額を超えて賭けてしまう。Left tailが重たい場合はもっと悲惨である。本当は成功確率99.5%なのに99.9%あると勘違いし、少額利益のために0.5%の確率で大災害が起きるような巨大なリスクを取ってしまう。そして、いずれやってくる大災害で破産もしくは債務超過になる。お金だけの話に限定しても、自己破産が許されなければ貴方は高利貸しの言いなりになってしまうだろう(注: 2018年現在日本では救済としての破産は可能なので、本当に困っている方は素人考えで変な行動を起こさず弁護士にまず相談すること)。お金よりもっと大事な人類全体の課題に対する一般的な投資のケースでは、我々は二度と復活できない。たとえ真の期待値がプラスであっても

大損失の発生確率または発生時の損失の大きさを過少評価する戦略上の間違いは、金融市場ではオプションを売る投資家に散見される。典型的にはDeep Out-of-The-Money (DOTM)のオプションをキャッシュでカバーできる許容金額を超えて売ってしまう人たちで、資産価格がジャンプして動いたときにこの手の暗い話題は事欠かない (DOTMが何なのかわからない読者諸賢は特に気にする必要はない。地震保険を売るのと同じだと思えばよい)。

オプション投資から学べることはビジネスや人生設計に大変有用であるので、今回の議論ではオプション用語を使わせていただく。以降の議論でもオプション・プライシングの数理などは特に使わないが、オプション取引に馴染みがない人のためにコールオプションの買いとプットオプションの売りという単純な二つの取引がどういう性質を持っているか少しだけ紹介する。すでにオプション取引の経験がある人は次節は飛ばしていただければ幸いであるし、また初めてご覧になる方も筆者の主張を理解するのにオプション・トレーダーの深い蘊蓄は必要ない。

その後、これらの単純な二つの取引と類似したビジネス・仕事が世の中のいろいろな場所に転がっていることを観察し、それぞれのペイオフ構造がどのような問題を引き起こすか、どのように変えていけば良いのか見ていこう。

      • なお巷の金融工学のテキストの多くは結局のところオプション価格の期待値がどうあるべきか or なるかを議論しているだけである。平均だけを見るリスク中立の世界は、複利で賭けていく投資家にとっては参考になることが少ない
      • どのようなネーミングが適切かわからないが、「対数期待値中立」みたいなプライシングの概念があったら筆者も学んでみたいので、もしご存知の方がいれば文献を教えてほしい
      • 現在のところ、筆者が個人的にオプションを評価する上で重視するのはリスク中立価格と市場価格の差ではなく、(1)式のU_p(\alpha)を最大化する\alphaにおいて、p(X)にある程度の精確な推定値を用いたときに効用が実際にどのような値になっているか、つまり実現可能な最大対数増加率 \max_{\alpha} U_p(\alpha)である。この評価方法は金融工学専門家が見たら首を傾げるかもしれないが、筆者はこれに深く納得している
      • プライシング理論よりも注意すべきなのはむしろ、p(X)のオーバーフィッティング、推定誤差の過小評価である。p(X)の推定値の不確実性を効用にどう反映するか考えるわけだが、古典的なブートストラッピング、あるいはBayesian bootstrap [5] は個人的にはとても役立っている
      • この蛇足まで読んでくれた方のために、オックスフォードの地の利のおかげで筆者が手に入れた知見をもう一つシェアしておこう。ベイズ推定における不確実性の評価方法のスタンダードは事後分布の解析評価 or 事後分布からのサンプリングだが、この事後分布はモデルが正しいときのみに正確な不確実性を与える(正確不確実性って不思議な表現だね)。仮定しているモデルのクラスが真のデータ生成過程を含まない場合に、ベイズ推定は不確実性を過少 or 過大評価する(過少評価が大半)。モデルのmisspecificationを許す場合の正確な不確実性の評価法にはいくつかあるが、たとえば [6] では真のデータ生成過程が、中心が仮定されたモデルそのものであるDirichlet processからのサンプリングであるというメタモデル化を行っている。その結果、Bayesian bootstrapとMAP推定の組み合わせがmisspecifiedモデルに対する不確実性評価の優れた方法であることが示されている。計算時間のかかるMCMCを行わずともbootstrap標本を数百程度生成して、それぞれの標本上でMAP推定をするだけで非常に良い不確実性評価ができていたわけだ。統計学部のChris Holmes教授はmisspecifiedなモデルにおけるベイズ推定について多くの成果を出しているので、興味がある人は参考文献を辿ってみると良い

コール買いと起業家・研究者

大半の労働者にとっては、景気が良くなった方が生活が安定し幸福度も上がる。株価と経済状況の相関がプラスであると言ってしまうのは実はとてもナイーブなのだが(歴戦の投資家先輩方から怒られてしまうであろう)、説明の簡便さのために、経済が良くなること、売上が増えること、仕事がうまく行くこと、給与が上がることなどポジティブな現象全般を単にアナロジーとして「株価が上がる」と表現することにする。そして多くの人が株価が上がる方向に賭けている世界を考える。

同じ株価の上がり方でも、人によって賭け方が違うため、利益の享受の仕方が異なってくる。株価が+30%上がった場合でも、ポジションの取り方によって+60%になる人や+10%で終わる人などいろいろな取引がある。上場企業C社の株価が上がる方向に賭ける場合、簡単なものでも以下の三種類の取引を行うことができる。最初の選択肢である原資産の株式を買う場合は、アップサイドもダウンサイドも一体となって享受するだけである。

  • C社の株式を買う
  • C社のコールオプションを買う
  • C社のプットオプションを売る

2番目の選択肢について、特にOut-of-The-Money (OTM)のコールオプションを買う場合について説明しよう。たとえばC社の現在株価が$100だとする。1年後に$120で株式を買う権利はコールオプションと呼ばれ、これが例えば一株あたり$0.5で売られている。もし株価が本当に大きく上がって一年後に$130になった場合、権利行使して$120で買って$130で売れば差額の$10が手に入る。権利自体は$0.5で買っていたのだから、$0.5が$10になって掛け金の20倍が帰ってきた! 原資産をそのまま$100で買っても$100が$130になるだけだが、もしOTMのコールオプションを買えば$100 / $0.5 = 200株 分のオプションを買うことができ、本当に株価が上がれば $100が$130ではなく$2,000に化けることになる。

無論こんなうまい話は実際には殆どない。株価が$130になる確率はごくわずかであり、むしろ一年後も$120未満である可能性の方がずっと高い。もし$100を全額OTMコールオプションに投下して、株価が上がらなければあなたは破産である (賭けすぎの二流ギャンブラー)。しかし投下金額を$100ではなく例えば$10に減らすことで最大損失を$10に限定しつつ、アップサイドも+$30ではなく+$100に増幅することができる。これでも楽観的すぎで、現実の金融市場では、殆どの場合において理想的なポジションサイズは更に小さいものだろう。

つまりコールオプションは、ダウンサイドを限定しつつアップサイドを拡大するギャンブル・安全弁のついたレバレッジとして用いることができる。その代わり成功確率が低くなる代償が存在する。株価が$110まで上がった場合、素直に株式を買っておけば+10%のリターンはもらえたのにOTMコールオプションの場合はゼロである。


グリーンブラット投資法 ──M&A、企業分割、倒産、リストラは宝の山

それでも、ダウンサイド限定・アップサイド拡大の双方を併せ持つ魅力が強すぎるゆえ、宝くじ買いをする投資家が後を絶たない。それを見透かしたオプションの売り手、たとえば前述した銀行家や、手持ち株を利用したカバードコール戦略で小遣いを稼ぐ機関投資家は、ここぞとばかりに宝くじを高値で売りつける。最初の例のように$0.5で買えた場合はいいものの、$1、$2とコストが増えるに従い確実なダウンサイドであるコストに対する不確実なアップサイドが見合わなくなっていくことを想像してほしい。コールオプションの買い手にとって重要なことは、売り手が成功確率を過少評価しているような投資機会・優れた企業を見つけ出し、売り手がその誤りに気づく前に買うことだ。これはつまりところ、起業家や研究者が他人からバカにされている・過小評価されているビジネス機会や研究テーマを見つけ出して先に着手することと似ている。たとえ夢はあっても成功確率が低いのも同様である。

コール買いをすると、なかなか簡単に成功が出ないので、来たるべき日が来るのはいつだ、まだかまだかと「イライラ」することになる。

プット売りと保険屋・サラリーマン

第三の選択肢に使われるプットオプションは、株価を指定された行使価格で売却する権利である。プットオプションを「売る」投資家は、株価が下がった場合に時価が行使価格より低くて割高な行使価格でも株式を買い取る義務に同意する。プットオプションの買い手は株価が暴落した場合の恐怖から解放されるために、保険を売り手から購入するのである。

プット売りのペイオフを簡単に見ておこう。C社の株価が$100から残念ながら$60に下落してしまったとする。一方のあなたは行使価格$80のプットオプションを他の投資家に販売し、保険料$5を先に受け取っていた。しかし残念ながら時価$60の株式を引き取ることになり、差額$20の損失、プレミアムで少し軽減されて正味$15の損失を負うこととなった。

ただしこのようになるケースは希である。株価が下がったといっても$85までしか下がらなかった場合、買い手は(誤発注などをしない限りは)プットオプションを行使しないので、あなたが株式を買い取ることはない。結果としてあなたの手元には$5残る。株価が$100のまま、$110に上がった場合、$130に暴騰した場合も買取は発生しないのであなたの売上$5は残る。

つまりOTMのプット売りは基本的には株価の上昇局面で利益が出る。ほぼ確実に少額の利益が得られるが、低い確率で大きな損失を負う。とはいえ、株価の暴落局面やバブルの疑いがある局面では投資家は恐怖にかられるため、高い保険料の支払いに同意することが多い。その結果、注意深く取引していればプット売りも期待値をプラスに持っていくことができる。

C社が顧客を独占できるような画期的な技術を開発して株価が暴騰した場合でも、あなたの利益は一定金額である。しかし逆に大スキャンダルが起きた場合にはあなたは大きな痛みを味わう。保険販売はプットオプションの販売そのものだが、たとえば(特に日本で)サラリーマンとして会社に勤務することもプット売りに酷似している。成果が並でも凄くても毎回一定金額のサラリーをだいたい受け取るし、名の通った一流企業であれば今までの業務通りのやり方をしてもだいたいは利益が維持できる。ただし低い確率で、勤務先のビジネスは新興のベンチャー企業や異業種参入してきた海外資本などに根幹からdisruptされ、ある日突然集団リストラ。手に入ると思っていたサラリーがいきなりゼロになった(生活費を考えればネット収支はマイナス)、などという事態に陥る。ベンチャー企業にdisruptされるなんてアリエナイと言ってるみなさん。Apple (この会社はベンチャーですらなかった)のiPhoneが出たあとNokiaがどうなったのかを思い出して欲しい。一時期ニュースを騒がせた「想定外」である。

Disclosure: ただし筆者個人はNokiaが好きでイギリスで購入した携帯はNokiaブランドのHMD Global製である。新興企業のHMD Global社がこれから何をしてくれるかは分からないが、Nokia復活の日を見るのが個人的な楽しみである (そのためにはHMD Global社は今までのプロダクトと少し違った何かには賭ける必要があるが)

プット売りをすると、低い確率の大暴落に対する恐怖と戦うことになる。その結果、プットセラーは「ビクビク」した生活を送ることになる。

プット売りサラリーマンの恐怖と無気力

イライラしているコール・ロングとビクビクしているプット・ショート。雇用主からの報酬パッケージがほとんど定額サラリーで占められており、RSU/ストックオプションやボーナスといったアップサイドが雇用契約に含まれないタイプのサラリーマンは、プット・ショートonlyのポジションを取っているに等しい (債券ロングとどちらが近いか思案したが、大企業の経営危機が増えた最近はプット・ショートの方が実態に近いと思う)。成功確率は高いがアップサイドが上限キャップされている一方で、もし業界変革でリストラになったりすると大きな損失を被るプット・ショート、サラリーマン報酬にはnegative skewnessが伴う。それでも多くのサラリーマンが、少なくとも先進国では自分と家族を養って無事に引退していくことを考えれば、このプット・ショート・ポジションの期待値自体はプラスである、と言ってよいだろう。

  • なおサラリーマンでもこれに該当しない業種はいくつかあり、たとえばスタートアップの初期従業員やヘッジファンド社員の実質ポジションはOTMのコール・ロングとOTMのプット・ショートの合成になっている。fixed incomeとコール・ロングの組み合わせゆえに転換社債ロングにも似ているが、ここではその議論は省く

ここで「期待値プラスでもnegative skewnessの場合は賭けすぎに要注意」の議論が出てくる。レバレッジをかけるなど基本的には論外である。自分という資本が100%しかないのに150%とか200%をプット・ショート的ポジションに張ってはいけない。具体的には、不必要な長時間労働をしたり、アップサイド固定の副業をしてはいけない。自分の健康を担保に将来から借金をして、直近のお金を稼いでいるだけにすぎないからだ。少し余計な病気にかかっただけでこのポジションはすぐ破綻する。サラリーマン就労自体は期待値がプラスの賭けであるが、労働集約的な副業でレバレッジをかけると対数期待値がマイナスの領域に突入してしまうことになる。

  • Negative skewedポジションのレバレッジ禁止から示唆されることとして、副業をする場合に選ぶ仕事はサラリーマン的なものは避ける必要がある
  • 起業家/研究者的な何かでしかも少額betができるものが望ましい。データサイエンティストならkaggleの比較的新しいタイプのタスクで小遣い稼ぎとか (スキルが水準に到達している人に限るが)
  • 長時間労働を要求されても、同業者が身につけることのできない特別スキルが身につかない限りは拒絶すること。企業は「残業を拒否できない」と雇用契約書面に書くものだが、不要な残業が発生しないように顧客との交渉をする責任は企業側と労働者双方にある。個別に交渉する勇気があなたにないと、レバレッジによるもっと大きな損失がやってくる
    • 一方でその特別業務にスキルと特殊知見獲得の莫大なアップサイドがあるなら、その余計な負荷に没頭してみても良いことになる
    • その場合でもリスクを抑えるためメインの業務量を減らす必要性は変わらない

長時間労働 or 副業によるレバレッジは、ある程度常識が働く人なら回避できるかもしれない。しかし過労死等の痛ましいニュースがまだ日本社会に残ることを見る限り、全ての人が正しくこの過剰レバレッジを回避できているとは言い難い。成長のために借金によるレバレッジをかけろとフェイク・アドバイスをしてくる大人たちも罪深い。ただしく長期成長するためには借金を伴わないタイプのダウンサイド限定レバレッジ機会を「探す」必要がある。間違っても今すでに確定している業務を単に物量増やしてこなすことは正解ではない。この辺りの意思決定で必要となるセンスは、資産運用と自分のスキル開発とでほぼ同一である。

しかし常識をもって借金は回避できたとしても(ネットのポジションはキャッシュ・セキュアード・プットと同様になるだろう)、低い確率の大きなダウンサイド自体は依然としてサラリーマン生活に付随し続ける。筆者の個人的印象では、この恒常的なダウンサイド / プット売りに起因する恐怖と無気力が、日本の労働者たちの活力を奪っているように映るのである。

悪魔のモラルハザード契約: ネイキッド・プットをスプレッドに変えて無気力続行

プットオプションを売るだけの取引がリスクが大きすぎると感じるときに、リスクを限定するためのポジションの一つにブル・プット・スプレッドがある。OTMのプットを売ると同時に、より行使価格の低い (よりskewedな) OTMのプットに買いを入れることで損失を限定する。保険を売りつつ、再保険会社と契約するようなものだ。ブル・プット・スプレッドにもnegative skewnessは残るのだが、left-tailをキャップする効果があるためテールリスクは大幅に減少する。単なるプット・ショートよりも大きなポジションが持てるようになる。

あなたがプット・ショートせざるを得ないサラリーマンだとする。ある事業がすごくうまく行っても会社が利益の大半を持って行ってしまい、あなたにはアップサイドがない。一方で低い確率の大暴落を受けた場合、それがあなたの選択の失敗に起因するものだった場合、社内で非難大合唱が始まり精神を病んでしまうかもしれない。あなた個人のせいではなかったとしても、部署全体が取り潰しになり今後の生活不安が爆発する。そんなときに、取引先会社がさらなるOTMプット・保険を売ってあげるよ? と提案してきた。何ということだ。これで自分の人生は安泰だ・・・そんなデタラメな話があるかと読者諸賢は訝しむかもしれないが、筆者の見立てでは日本の企業間取引 (Business to Business: B2B)ではこれが蔓延している。

ITベンダーとの共同プロジェクトで、競合関係にある2社が異なる提案を持ってきた。ユーザー企業であるあなたはどちらを選ぶだろうか?

  • ベンダーA: 一定の成果がほぼ確実に期待できるプロジェクトを提案してきた。そして納期がXXX日以上遅れた場合には全てのコストをベンダーが負担する保証が入っている
  • ベンダーB: 面白く新しいビジネスモデル開拓につながりそうだが失敗する可能性の高いプロジェクトを提案してきた。失敗覚悟で我々の投資資金を「賭ける」べきだと説得された。ただし失敗の責任はベンダーではなく我々にある

こういう営業・取引交渉が何百・何万と行われている世界を考えよう。マクロな経済システムの発展を考えたときに、ベンダーAを選択する企業が大半になると日本社会にとっては悪夢である。個々の企業あるいは企業内部署はベンダーBが提案するプロジェクトのように、positive skewedリスクを取る必要がある。ただし種々の異なるプロジェクトに分散投資することでドローダウンを抑えていく。もしあなたが謂わゆる賢明な独裁者で全ての契約に口を出すことができるなら、ベンダーBタイプを選定する強い圧力をかけることになるだろう。

だがベンダーBを採択するよう促すのに、冷酷な独裁者による強制は別に必要ない。ベンダーBを選んで、うまく行った場合には担当者である社員にもどーんとアップサイドの成果報酬を渡す、つまりコールオプションを売ってあげるだけで十分なのだ。わざわざ社長が説教しなくても社員はBを選択するだろう。

しかし、日本のB2Bビジネスに触れたことがある人はすでに分かっており、馴染みがなくかつB2B企業への転職を考えている人は覚悟して欲しいのだが、日本企業の社員はベンダーAを好むことが大半なのである。なぜか。その答えは従業員個人が意思決定する点にある。

端的に言って、この現象は経営者が社員をincentiviseする方法を間違えたがために起きている。従業員にとってはベンダーAの選択は完全に合理的である: ベンダーBを選んでも利益は社長か資本家が持っていくだけだ。一方で高い確率の失敗は自分たちのせいにされる。一方ベンダーAを選んでおけば、万が一の失敗も彼らに責任転嫁できてクビを回避しやすい。どちらもアップサイドはないが、ベンダーAにはダウンサイドのプロテクションがついている。こんなことを多くの従業員が考えているせいで、B2B取引では保険を買うことばかりに頭がいき、肝心の事業の強化・収益力の向上を目指す本質的なプロジェクトは過少投資される。

B2B取引で経験の長い営業マンは、顧客企業ではなく顧客企業の従業員個人の潜在欲求を満たした方が売上が増えることをよくわかっている。彼らは顧客企業全体の将来のビジネスのことを本質的には考えない。代わりに、保険が欲しい従業員の心を買収して確実にディールを締結させる。さて、多くのディールのおかげで歩合ボーナスをもらうこの営業マンと責任回避を達成した顧客従業員は満足かもしれない。でも大局的に見たら我々は何をやっているのか? 日本社会の悪夢がまた一歩、実現に向かって前進してしまった。

このような状況でお偉方は「若手はチャレンジ精神が足りない」などと明後日の説教をする。しかし根本的原因を想像してほしい。元はといえば、事業成功時のアップサイドを渡す契約を忘れた経営者が愚かなのである。何の成果報酬もないのにわざわざリスクをとる人物がいたら、人格は高潔だが知性がむしろ足りないとさえ言える。だから経営者のみなさん。こんなことを続けて自社の競争力が弱っていくのは暗黒時代への片道切符でしかないのだから、なんとかしてコールオプションを社員に渡してあげましょう。そしたら社員も保険買いをやめてリスクテイカーに変わってくれる。誰のプロジェクトが成功するかはわからないが、誰かはいずれ画期的な発見をする。社員に自社株買いを奨励するのも良いが、現物自社株だけだとこれらの社員にとっては少々レバレッジが足りない。株主に配当やキャピタルゲインを渡すためには、社員を良い方向に刺激してとにかくまず収益力を強化しないといけないのである。

経営者に全ての責任があるとは言わない。経営者が従業員のincentivisationを訴えても却下してしまうような、株主にも問題があるかもしれない。しかしそのようなコミュニケーションも含めて重い責任があるからこそ、経営者は大きな報酬を受け取る資格があるのである。経営者は努めて、そのような株主ではなくて真に投資眼のある株主を集めるようコミュニケーションを図らなくてはいけない。Amazonにおいて、ジェフ・ベゾスCEOがともかく新しいチャレンジをした社員には結果に関わらず表彰していたことを思い出そう。


ジェフ・ベゾス 果てなき野望

お金だけではないアップサイド

さて、ここまでの議論だとサラリーマンは踏んだりけったりにも見えてしまう。期待値プラスであること以外は何も救いがない。一方の経営者・資本家はやりたい放題・・・などと勘違いするのは経営者と話したことのない労働者だけである。サラリーマン家庭に生まれた筆者も30歳ごろまでそうだったが、友人が起業や経営に関わるようになってから違う見方もでてきた。

実は、経営者はお金のアップサイドと引き換えにスキルのダウンサイドを負っている。上場企業であれば投資家とのコミュニケーション、各種事業責任者から上がってくる情報の整理と資本配分の再考といった膨大なプロセスをこなしていく多忙な日々のせいで、たとえば元々は一流のソフトウェア・エンジニアであった人も気がつくとテクノロジーの最先端がわからなくなっていたりする。本質的には経営者は資本配分のスペシャリストであって、それ以外のことを担当者にdelegateする必要がある。しかし配分を適正化するだけに足る市場と自社技術の現在および将来に関する深い洞察は常に持っていなければならない。忙殺は資本配分に必要な後者のスキルを奪ってしまうことも多い。そこまで含めてマネジメントするのが経営者の責任であるわけだ。経営者が「忙しくてよく考えられない」と感じたら、その経営者はそもそも仕事をしていない。

アマゾンのベゾス氏:1日3つ良い決定をすれば「仕事は十分」

一方で金銭的成果報酬部分のレバレッジがあまりない労働者であっても、スキル向上機会のアップサイドには恵まれていることが多い。保守的であると型に当てはめられて説明される大企業では、実際には多くのスキル向上機会が提供されている。規模の経済に必要な関係で運用されているインフラが巨大であり、利害関係人物が多様であることによるものだ。

  • なお自分の会社では金銭もスキルもアップサイドがないと、何度真剣に考えてもあなたがそう思うなら、それは実際におそらく転職しなければならない状況だろう

労働者は実際にはスキルのコールオプションを雇用主から買っている。このオプションを手に入れるために、従業員は、経営者あるいはもっと金銭的報酬が多いがより忙殺されている人々よりも低い現在賃金に同意する(プレミアムを雇用主に払う)。その代わり、雇用先企業のインフラおよび人的ネットワークを使って、self-employedで働いていた場合では到底手にできないスキル獲得を狙う。このコールオプションは、可能性としては獲得したスキルをレバレッジして将来大きく稼ぐ宝くじになっている。スキルが獲得できる保証自体はなく従業員自身のリスクテイクによるものであるのも金融市場のコールオプションと同様だ。しかし実際にオプションがstrikeした場合には、同じ雇用主のもとで大出世するのも、他社に高額で引き抜かれるのも、はたまた自分が起業するのも、何でもアリである。雇用契約のもとで開発した知的財産自体は雇用主が差し押さえるものであるが、その知的財産を生み出すにいたったプロセスから獲得した、あなたに隠された膨大な経験を会社が差し押さえることは実質不可能だからである。

たとえば筆者の場合、現在の雇用主の元でもっとも有難いのは投資プロフェッショナルとのコミュニケーション機会である。Self-employedの個人投資家の想像とは大きくちがった、業界構造の深い知識が手に入る。

  • たとえばセルサイドであるmarket makerは、なんらかの理由でバイサイドの将来の注文が先読みできる場合には、execution algorithmを洗練させることでmarket makerにとって有利なbid-ask spreadを提供したりする
  • 一方のバイサイドはブローカーに余計なコストを払うのを防ぐために注文を乱択するなどの予測可能性を減らす対策を行う。水面下の小さな勝負があるわけだ
  • とはいえセルサイドに注文を執行してもらわなければバイサイドも商売が出来ないので、お付き合い自体を切るわけではなく、あくまで微調整をするイメージで捉えてほしいが

機械学習研究者の筆者としては、二番目だが一番目に匹敵するくらいにありがたいのは大規模な計算機を使い倒して実験ができる環境だ。最終的に構成される投資戦略はCPUが数コア程度の環境でも十分に実行可能な実装に落ち着くことが多いのだが、その戦略が将来にわたってもおそらくリターンを生み出し続けるとの確信をもつためには、たとえばbootstrap sizeを非常に大きくしたり、高次元の積分が必要なある種のノンパラメトリック検定をモンテカルロ法の力技で解決するなど、信頼性担保プロセスにマシンパワーが必要である。

  • マシンパワーの必要性は将来のリターンを予測する際のS/Nがとても小さいことから来ており、低いS/Nは金融市場で投資家が互いにしのぎを削ることで発生する
  • しかしS/Nがゼロであると考える効率市場仮説論者とは違い、低いが実際には正であるシグナルが存在する。その存在を莫大な実験を通して実証するわけである

筆者の雇用先における計算機の規模は、GoogleやAmazonといったITの真の巨人よりはずっと小さいが(社員数がそもそも3桁以上違うしファンドの運用コストを抑える義務もある)、それでもこれまでの雇用先に比べてずっと大きな規模の計算機実験ができる。このプロセスを通して構成された投資戦略は、一人の個人投資家がせいぜい100万円程度の計算機で実験して見つけたそれとは信頼性に大きな違いがある。また、大実験をする前提であっても、プロセス効率化をはかる際には投資プロフェッショナルからの知見が大きなヒントになる。予測モデルのどの部分については大きな時間をかけて厳密に調べつつ、どの部分は非金融業も含む機械学習屋のよく用いるデフォルト設定で済ませてしまうかのフォーカスが設定しやすくなるわけだ。投資知識、大規模計算機環境、そしてその非線形相互作用まで含めたパッケージこそが、筆者が雇用主から提供された大事なコールオプションである。

  • たとえば将来のある時点で、ヘッジファンド・ビジネスとは全く別だが同様にS/Nが異様に低いなんらかのデータセットと格闘しなければいけない新業種が発生したとしよう
  • この新会社は画像認識や広告ターゲティングなどの多様なバックグラウンドから多くのデータ・サイエンティストを雇ってみたが極端に低いS/Nゆえに彼らのほとんど誰も成果を出すことが出来なかったとする。このようなビジネス領域において、将来の筆者が労働市場であるいは自分のスモールビジネスにより持つ交渉力はとても大きい
    • 筆者の研究が今後十分に成功した場合に限るが
  • そのために、潤沢なキュッシュフローをもつIT企業では働かず高額従業員パッケージを逃している(=コールオプションのプレミアムを支払っている)ことを覚えておいてほしい
  • あくまでオプショナリティであることに注意: そのシナリオが将来確実に発生するわけではない。非ゼロの低確率で発生したときにstrikeするコールオプションを保持しているだけである。オプション行使は自由意志による選択であって、行使義務はない。筆者が目指すキャリアの既定路線が投資の世界での成功であることには変わりはないし、そちらの路線がうまく行けばこのオプションは別に権利放棄して良いのである
  • このオプショナリティの根源は、極端に低いS/Nデータに対する予測品質確保という仕事がいまのところ機械学習アプリケーションの世界ではメイントピックではないことに起因している。ある程度予測の成功が約束されている世界で現在引く手あまたなのに、そんな嫌がらせみたいな課題の世界に何故わざわざ行く必要がある、と同業者が将来の可能性を過少評価することで機会が発生するわけだ。端的にいって、直近の報酬を少し妥協できるマイノリティは大きなオプショナリティを持つことになる
  • 大規模実験に関してほかに感じるのは、スケーラブルなR&Dインフラにおける雇用機会の過少評価である。ITインフラを担当するソフトウェア・エンジニアの方と話していて思うこととして、e-commerceサイトなどのように直接現在のサービスを提供するフロントの部分には大規模な並列計算を用いるのに、そのプロダクトに将来導入されるアルゴリズムを開発する社内インフラはなぜか貧弱にしてある日本企業を広く散見する
  • このいびつな構造には筆者はこれらのIT投資意思決定をした担当者の近視眼性を感じるのであるが、ソフトウェア・エンジニアの人はこの近視眼性にキャリアを潰されてしまってはもったいない。顧客と接する直接サービス部分ではなくてR&Dインフラ構築にも実は大きな可能性があることを考えてみるとよい

そんなわけで、経営者が賃金を増やしてくれないと嘆く労働者のあなたも、実はコールオプションをすでにもらっていなかったかどうか、今一度よく考えてみてほしい。また経営者の方も、収益力強化をはかる上でコールオプションを社員に売ることができないか考えてみてほしい。まず理解して頂きたいことは、これは無料のフリーランチを配るモラルハザードとは大きく違っていて、互いにリスクを取った上での正当な投資にすぎないことだ。経営者であるあなたはコールオプションを売った際にプレミアムを受け取る権利があり、従業員の賃金をさらに少し低くしてもよい。あくまで少し低くである(大きく下げるのはKelly Criterionで投資可能な水準を超えた不合理なレベルのリスクテイク、二流ギャンブル性を社員に強要することにつながる)。低い確率の成功時には、溜め込んだリスクプレミアムと事業成功による大きなキャッシュフローのプールからどーんと報酬を払ってあげるだけである。本質的には、あなたが資金調達の際にequityでファイナンスするかdebtでファイナンスするか、資金提供者との関係構築時に考えていることを社員とのコミュニケーションにも適用するだけのことだ。

リスクを取らせすぎる福祉国家

さてコール買いポジションの福音を説いてきたが、賭けすぎ二流ギャンブラーになる危険性を再三伝えてきたとおり、このポジションは無節操に奨励されるべきものではない。極端にアップサイドの限定されたサラリーマンはプット売り由来の無気力が問題となるが、ダウンサイドを限定したコール買いポジションの方はそちらはそちらで、ペイオフ構造があまりに魅力的すぎてうっかり賭けすぎてしまうのである。

雇用先での報酬が一定額サラリーのみで明示的なアップサイドに馴染みがない人々は忘れているが、たとえば日本の大半の市民は、健康問題に関してこの賭けすぎギャンブルをしている。救急車を呼ぶにも20万円かかるために血だらけで病院まで歩く人々がたくさんいるアメリカ合衆国とは違い、日本やイギリスは国民皆保険国家であって治療可能な病気・怪我である限りは公的機関からの手厚いサポートがある。病に倒れた全ての人が完治するわけではないが、ほとんどの患者は病気が治癒するかどうかそのものに関心を持てており、米国のように医療破産するかどうかを先に心配する人はほとんどいない。日本でこのような心配をする人は単に高額医療補助制度など公的なシステムを理解していないだけである。

しかし困っても病院が・国が助けてくれるからと過剰に安心して予防医療に対する自己意識が低いのが日本の課題である。アルコール依存(依存している本人は依存していることに気づいていなかったりする)やたばこ依存から偏食から歯磨きでフロスを使わない怠慢まで、医療専門家に言わせると列挙すべきものがたくさんあるだろう。皆保険システムが提供してくれるプットオプションを手に入れたのはいいが、ダウンサイドがキャップされて過剰安心したせいで、不合理にレバレッジをかけてしまったのである。国民へ寛大にもプットオプションを付与する主目的は、あくまで最悪ケースからのプロテクトであって、過剰安心からくるレバレッジ: 借金して株を追加するような過剰リスクテイクの奨励ではない。NHSによる保護があるイギリスも同様で、筆者の自宅近所の名門公立病院には、金曜日になると急性アルコール中毒患者が多く運び込まれているようである。

福祉国家は市民にリスクテイクさせ過ぎる点が問題である。一部の右派的思想の持ち主は、福祉国家のもたらす安心が、ハングリー精神を失わせ経済が不活性化するという主張をして福祉国家や福利厚生システムに反対することがあるが、実態は全く逆でハングリーになりすぎるのである。たとえば左派の学者や政策担当者は、福祉が国民を羊にするというような明後日の批判にたいして自身の政策をdefendする必要は全くない。むしろそんな批判でオロオロしてしまうような左派を見ると、全体としては福祉国家をなんだかんだで良いものだと考えている筆者としては無能な味方から刺されたような気分になる。

左派は右派に対して、福祉があってもハングリー精神は失われないなどと弱腰の意味不明な反論をしてはならない。福祉のせいでハングリーになりすぎる欠点はあるが自制心を促す政策も併せて実行していく、その仕組みは・・と反駁していく必要がある。過剰リスクテイクをしない自制心を市民にどう根付かせるか、その具体案こそが左派が右派に対して真摯に回答しなければならない内容である。政府レベルの意思決定ではなくて、企業内でもときどき全社員に対して提供される福利厚生システムを憎む変な従業員がいるが(自分の給与になるべきお金が他の社員の保険に浪費されると単に思い込んでいるのだろう)、このようなケースでも同様である。明後日の方向の憎み合いと無意味な口論ではなく、ペイオフの非対称性をきちんと理解した意味ある討論を政治レベルでも民間企業レベルでも見たいものだと筆者個人は思っている。

プットセラーも重要な社会的役割を負っている

Positive skewedなポジション・コール買いの麻薬的負の側面を理解するのが大事なのと同様、negative skewedなポジション・プット売りの社会的正の側面も忘れてはならない。サラリーマンとして働く機会のように、期待値が正のポジションが広く世の中に存在している事実を忘れてはいけない。そしてなぜ期待値が正の投資戦略はnegative skewedなものが多くなってしまうのかを考えてみることは大事である。投資家や労働者が広く収益機会を探しているなら、期待値正の投資戦略はpositive skewedなものとnegative skewedなものと半々の割合で存在しても良いではないか。

なぜnegative skewedかつ期待値プラスの投資機会が多いのだろうか。この理由を考えるとき、映画 Bridge of Spiesでトム・ハンクス扮するジェームズ・ドノバン弁護士の台詞が思い出される。保険金請求に対して彼は要求額の半分だけが支払われるべきだと説くときにこんな感じのことを言う。「保険業そのものが儲からなくなるような出費が出たら、保険会社が撤退してしまいその結果誰も保険で保護されなくなる」


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この台詞は本質を集約していると思う。生命保険も自動車保険も、保険会社自体の収益はプラスでskewnessはnegativeである。保険を買っている人々はpositive skewedで期待値がマイナスの賭けをしているわけだが、彼らの目的は最悪の事態から自分の人生の続行可能性を守ることであって別に生命保険を買って金賭けをしようなどとは考えていない。もちろん、生命保険会社同士の競争はあり価格に下落圧力がないわけではないが、保険会社の利益がゼロになるまで被保険者が保険会社に圧力を加えるような事態にはならず、売り手と買い手が双方とも自然に満足する価格水準に行き着くということである。

保険会社はleft-tail riskという代償を元にプラス期待値の報酬を手に入れる権利がある。同様に、資本家と経営者、経営者と従業員のように、少なくとも人間同士の取引においてはペイオフやリスク構造は鏡像の関係にある。双方が人間である取引において、片方がリスクフリーで一方的に得をするディールは何かがおかしい。このように考えるとpositive skewedなポジションが欲しい人はnegative skewnessを負う人に対価を払うのは当然であり、双方のリスクテイカーが尊重されるべきだ。

ただし本質的にはゼロサムの保険の売買と違って、経営者から従業員へのコールオプション付与はそれ自体が余剰を産むプラスサムになる。というのはインセンティブ付与された従業員の努力と献身によって会社全体が成功すれば、コールオプションのstrikeによる支払いが生じても経営者にとってはプラスであり、オプションを行使する従業員は言うまでもなくプラスだからである。Skewnessは鏡像の関係として残るが、双方が期待値プラスの取引が作り出せないか、我々は絶えず創造性を大事にすべきだ。

高次モーメントが発散する場合: 原子力発電, 遺伝子操作, etc.

金融市場のオプション取引では、negative skewedであろうとpositive skewedであろうと、left-tailはどこかでキャップされている。DOTMのプット売りであれば、最悪のケース: 株価がゼロになった場合のstrike priceが最大支払い金額だ。最初に受け取ったプレミアムの何百倍もの支払いが発生するから問題となるだけで、最大ロス金額は確かに有限で存在し、高次モーメントも有限である。問題はレバレッジの間違いであって、Kelly Criterionから最大投資金額自体は算出できる。

しかし金融市場に限定されない人類全体の賭けについては、高次モーメントがおそらく発散しているものが存在する。筆者が最近おそろしいと感じていることは、そのような賭けを行う場合に知っておかなければならないことの多くを、一流とされる科学者が理解していないように見受けられるばかりか、懸念を正しく表明している人たちを非科学的とレッテル貼りしたりするケースさえ見られることだ。最終章の執筆意図は、これらの研究者にモーメントが発散している場合の複利投資の不毛性について数理的に理解してもらい、自らの主張や研究の方向性を再考する機会をもってもらうことである。

具体例の前に、高次モーメントが発散する確率分布を持ってきて、Kelly Criterionによる投資可能水準がどうなるか見てみよう。単純な例で使えるのはスチューデントのt分布である。この確率分布は左右対象であるため広い意味でのskewnessはゼロだが、自由度が裾野がべき乗減衰し、分散が有限であるためには自由度\nu\nu > 2でなければいけないし、3次モーメントが有限であるためには\nu > 3が要求される。

ここで、PnLが掛け金に対して期待値+50%で、誤差項がスチューデントt分布に従う賭けを考えてみよう。期待値はプラスで存在するものの、自由度\nuの値に応じて高次モーメントが発散する。\nu \to \infty (正規分布に一致する)、\nu = 1.5 (分散が無限大)、\nu = 3 (分散は存在するが3次以上のモーメントが発散)、\nu = 5 (分散・歪度・尖度は存在するが5次以上のモーメントが発散) の4種類を考えてみる。正規分布のケースは分散が1なので シャープ・レシオ0.5の賭けである。自由度が無限大ではないケースでは、対称性ゆえに、想定外のロスが発生するleft-tail riskだけでなく、right-tail riskつまり想定外の嬉しいリターンも発生する可能性がある。金融取引との違いは、left-tail riskの最大値が決まっていない点である。確率的には掛け金を全額失いさらに余計に-100% (つまり-200%のloss), -200% … と失う可能性がどれだけ低い値であってもわずかながらに存在する。

このリスク資産に対する投資を行い、複利による資産増大を行う場合の投資可能最大割合はどれだけだろうか。実は、最大ロスが確定していないケースでは正確なKelly Criterionに用いられる積分が定義できない。そこで妥協策として、下側確率\delta/2, 上側確率1-\delta/2 で確率分布をtruncateし、50\delta-percentileから(100-50\delta)-percentileの区間積分をモンテカルロ法で評価してみよう。このtruncationは積分を有限にしてある種の最適投資水準の算出を可能にする。しかしtruncationが必須であることの本質的な意味は、十分に長い時間がたった場合には我々はruinを避けられないということである(詳細な議論は [7] にある)。\deltaの選定は、たとえば太陽が赤色巨星になって地球を呑み込むまでの残り時間(億年の単位である)とか、地球温暖化がこのまま進んでしまい地球が人間の住めない場所になる残り時間(100年あるかどうかさえ危惧されている)などから設定せざるを得ない。

実際にスチューデントのt分布からサンプルサイズ n の乱数を発生させつつ、下側と上側のtail samplesを除外した経験分布に対するKelly Criterion上の最適投資水準\alpha_nを計算する。そしてサンプルサイズ nを増やしていくと\alpha_nがどのような値に収束していくか (つまり真の\alphaが何か) 観察してみよう。\delta=0.0005を今回は採用する。簡単なpythonコードは以下の通りである。手元環境のメモリ上限の関係で 100種類の異なるブートストラップ標本 (ただし経験分布からではなく既知の真の分布からの標本だが)を生成して平均している。n100\times 10^2 (1万)から100\times 10^6 (1億)まで変化させている。そして計算された、収束状況を示したグラフが図1である。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar
from sklearn.utils import check_random_state
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.backends.backend_pdf import PdfPages
from collections import OrderedDict
import os

def kelly(y):
    lg = lambda x: -np.log1p(x * y).mean()
    res = minimize_scalar(
        lg,
        bounds=(0.0, 1.0 if np.min(y)>=-1.0 else -1.0 / np.min(y)),
        method='bounded'
    )
    return res.x

seed=5678
n_replicates=100
delta=0.0005
key2n_vs_alpha = OrderedDict()
for key, df in [
    ('Gaussian', np.inf),
    ('Student t: nu=1.5', 1.5),
    ('Student t: nu=3', 3.0),
    ('Student t: nu=5', 5.0)]:
    n_vs_alpha = []
    for n in np.logspace(2, 6, 9, dtype=np.int64):  # n=100 to 10^6
        random_state = check_random_state(seed)
        alpha_n = 0.0
        for _ in xrange(n_replicates):
            y_n = random_state.normal(loc=0.5, size=n) if np.isinf(df) \
                else (0.5 + random_state.standard_t(df=df, size=n))
            left_cap = np.percentile(y_n, 100.0 * delta)
right_cap = np.percentile(y_n, 100.0 * (1.0 - delta))
            truncated_y_n = y_n[np.logical_and(y_n > left_cap, y_n < right_cap)]
            alpha_n += kelly(truncated_y_n)
        alpha_n /= n_replicates
        n_vs_alpha.append([n*n_replicates, alpha_n])
    key2n_vs_alpha[key] = np.array(n_vs_alpha)

plt.rc('font', size=14)
with PdfPages(os.path.expanduser('~/student_kelly.pdf')) as pdf:
    plt.figure(figsize=(9, 5))
    plt.xscale('log')
    for key, n_vs_alpha in key2n_vs_alpha.iteritems():
        plt.plot(n_vs_alpha[:, 0], n_vs_alpha[:, 1], label=key)
    plt.title('Maximally-Allowed Investment by Kelly Criterion')
    plt.xlabel('Sample Size')
    plt.ylabel('Weight in Portfolio')
    ax = plt.subplot(111)
    ax.set_ylim([0, 0.65])
    box = ax.get_position()
    ax.set_position([box.x0, box.y0 + box.height * 0.1, box.width, box.height * 0.9])
    ax.legend(
        loc='upper center',
        bbox_to_anchor=(0.5, 0.975),
        fancybox=True,
shadow=True,
        ncol=2,
        fontsize=12
    )
    pdf.savefig()
    plt.close()

student_kelly

図1. PnLがスチューデントのt分布に従う場合の最大投資可能割合

図1の実験結果をみるかぎり、サンプルサイズが10^6以降の値はどの自由度でもほぼ収束値になっていると言えよう。しかしこれは\delta>0を設定したおかげである。\delta=0の場合の正確なKelly解はexactにゼロである。自由度が大きく裾野が浅くなるほど収束速度自体は遅くなるが、対数効用関数の性質上、ある特定のモーメントが発散しているだけで、どんなに\alphaを小さくしてもruin (たった一回のロスで破産して債務超過になること)を回避することができない。また分散が無限大の\nu=1.5のケースは他の場合に比べてとても低い金額しか賭けられないことが図1からよくわかる。

これら t分布のPnLに対する賭けは、一回あたり定額である限りは期待値に収束させられる。しかし定率での賭けは、十分に長い時間がたった場合はどんなに小さい金額を投資していても破産という結末しか待っていないわけだ。なんと不毛なペイオフだろうか。発散している高次モーメントと複利の組み合わせは、期待値がプラスなら賭けないのは不合理だとのたまう一部の有識者の意見を完全に葬り去ってしまう。モーメントが発散している場合の賭けは我々はruinでいずれ死ぬことをむなしくも受け入れた上で、そのruinの発生時刻を出来るだけ未来に設定した中での投資しかできないのである。唯一の救いは、我々の住む太陽系には元々決まっている死亡時刻がある点で、それより長い時間に該当する切断水準 \deltaは考えても無駄という点である。

さて、実際に高次モーメントが発散していると筆者が考えている投資の代表例は原子力発電と遺伝子工学である。期待値が本当にプラスなのかどうかも若干の懸念はあるのだが、ひとまず原子力発電も1次モーメントは発散せずプラスであると仮定しよう。時々起こる大損害や放射性廃棄物の処理を差し引いても、安定して供給される電力や二酸化炭素を排出せず、気候変動阻止に役立つ性質はトータルで見ればプラスと考えることが一応できる。同様に遺伝子工学も、農業生産性の劇的な改善を通して本来は飢えていたはずの人々に食料が行き渡るならば、生物多様性上のリスクに見合うだけのリターンがあると仮定しよう。

  • 原子力の方で一応と書いているのは、1次のモーメントが有限であることを示すにはleft-tailのべき指数がある範囲に収まる必要があり、これまでの観測を通じて真のleft-tailのべき係数が測定され、そのconfidence intervalが望ましい範囲に収まっていたのか筆者が疑問に思っているためだ
  • 遺伝子操作の方も、飢餓問題の本当の要因は農業生産力の不足ではなくて先進国の農家への補助金や独裁者による横領といった経済システムの欠陥の方だが、その本質的議論もここでは遺伝子工学研究者側に譲歩して不本意ながら目をつぶることとしよう


最底辺の10億人

しかしこれら二つの賭けは、それら単独ではまず間違いなく、left-tailが分厚いnegative skewedなものである。原子力による電力供給の増加は多くの場合に少しの便益を提供するが、莫大なアップサイドとは言い難い。遺伝子操作も食料生産性は上がるだろうが、嗜好品を求める富裕層はそもそも遺伝子組み換え食品は買いたがらない。人間の遺伝子を直接書き換えるというならパーフェクトベイビーを欲しがる人々(これらの近視眼的な人々がまた別の大災害の源となる)に魅力的なアップサイドを提供するかもしれないが、みなが殺到して似たような遺伝子を欲しがることで多様性欠如が発生し、人類全体自体は存亡の危機に瀕するだろう。

遺伝子操作に関する懸念は何も筆者個人のものでなく、投資リスクの評価に関心がある研究者の間では広く共有されているものだと思う。著書「ブラック・スワン」で同じみのNassim Nicholas Talebや、彼のビジネスパートナーであるヘッジファンド・マネジャーのMark SpitznagelはGMOの欠陥に関する極めて強い懸念を表明しているので、ぜひ読んでみてほしい。ジャガイモに過度に依存したことで起きたアイルランドの飢饉など、生物多様性の破壊は過去にも大惨事を起こしている。

Another ‘Too Big to Fail’ System in G.M.O.s

筆者もジーン・ターゲッティングなどの遺伝子操作プロセスが具体的にどうなっているかは知らないので、あくまで結果のペイオフから利便性と危険性を判断することしかできない。もしGMOにおいて遺伝子配列の特定部分を置き換える作業が、実質的にはコンピューター・プログラムのマシンコードを直接バイナリエディタで編集するかのような処理と等価であるなら、SpitznagelやTalebが懸念する見方は実際のところ正当だと思う。生物学的に離れた種の配列を一部直接組み込むことを可能にする編集プロセスは、自然交配や放射線をぶつけることで遺伝子に影響を与えてきた伝統農業とは最適化における動力学が大きく異なっている。

伝統農業における品種改良は、高次元の遺伝子表現状態空間において放射線や生物本来の突然変異による撹乱を導入することで近傍への移動をはかるものである。他の近傍への移動後、種が人類にとって都合のよい方向に変化したならば採択し、そうでなければ廃棄する。ここで重要なことは、状態空間上の任意の領域が生物として存続可能なわけではない点だ。近傍移動を繰り返していくが、生物として存続ができず死亡してしまう崖が存在する。最後に選択される種はときどきこの崖への墜落を経験しながら、あくまで初期状態から連続的に到達可能な範囲にとどまっている

しかし遺伝子を直接編集して、他の種から見つけた遺伝子を埋め込む方法を用いると、状態空間上でのleapが起きる恐ろしいのはこのleapのノルムが大きいときだ。本来、人類を滅ぼしかねないようなキメラの発生を防いでいたはずのinfeasible領域、最適空間上の崖を飛び越えた、種として存続可能だが既存の全ての生物全体にとって最強の敵となる未知生物の生産に加担してしまうかもしれない。このようなleapは、simulated annealingのように、多峰性のある目的関数を最適化する際には助けになり得るが、生物種の操作の場合はleapこそが悪夢のトリガーになる気がしている。そもそも人類は遺伝子表現とそれに対する効用関数値の全空間をカバーしたサンプルを持っていないからだ。遺伝子操作をしている研究者は特定の塩基対に特定の生物機能があり、二つの塩基を持って入ればそれぞれの機能が生物に備わる、というような線形の対応関係を直感的に描いているように思われる。その切り取った塩基と別の塩基の共起が特定機能の発言に関係しており、しかもその発現が潜伏するような性質を持っていたら?

機械学習のモデルを解釈するときの留意事項を思い出して欲しいのだが、線形モデルが非線形モデルより予測能力が良かったとしてもそれは真のデータ生成メカニズムが線形であることを全く意味しない。線形モデルが非線形モデルよりも推定時のvarianceが小さく、与えられたサンプルサイズのもとではbias-variance trade-offの関係上variance reductionのメリットがbias reductionのメリットに勝ったというだけである。もしデータ生成プロセスが寸分の狂いもなく線形であると主張するためには、線形モデルと非線形モデルとでbiasが同一であるという実験を膨大なモンテカルロサンプルを生成して確認しなければいけない。たとえば特徴選択の文献だが、[8]に記載されているようなバイアス同一確認プロセスが遺伝子工学の文脈で必要になる (論文には、ある関数近似器のbias^2+noiseとvarianceの具体値がどうなっているかcross-validationを用いて推定する方法が記載されている)。だが計算機の中の、モンテカルロ法による数百万bootstrapサンプルに頼れるピュアなデータドリブン世界と違い、遺伝子操作の実世界でこのような莫大なbootstrapサンプル生成ができるのかも筆者には疑問である。

GMOのモンサント社も、遺伝子を直接書き換えるのではなくて交配メカニズムに介入するタイプのアプローチを最近開発したようだ。こちらのアプローチの方がまだleft-tail riskが低いように筆者の目には移っている。近傍探索の一種だからである。

遺伝子組み換え作物の巨人、モンサントが取り組む「昔ながらの品種改良」

では原子力発電への投資も遺伝子工学への投資も極めて否定的結論しかないのだろうか? 筆者もいろいろ考えてみたが、いまのところの結論は「市民の生活の屋台骨を預けるような基幹システムへの採用には反対だが、原子力開発や遺伝子改良技術開発には賛同」としか言えない。まず上記のモーメント発散議論により(発散しないと主張する研究者がいるなら、彼はこれらの技術のleft-tailが完全にキャップされることを証明する必要があり、おそらくそれは不可能だ)、人口増大にあわせた複利投資にこれらの技術はいまのところ向いていない。

だがこれらのleft-heavy-tailedな技術を利用停止したとしても、人類は気候変動という別の存続脅威を抱えており、こちらを放置してもいずれ我々はruinで倒れるだろう。人類の工学的失敗によるruinと、不可逆な気候変動によるruinと、どちらのruinが先に来るかの有限時間勝負の中でしかポートフォリオを最適化できない。上記のシミュレーションでtruncationを導入しながら、「実は我々にはあまり時間は残されておらず、全てのtail riskをキャップすること自体が贅沢で達成不可能な目標なのだろう」という諦念感が筆者を襲ったのも事実である。

気候変動危機の回避には化石燃料の大幅な撲滅が必須になっており、発電所における化石燃料利用の削減と、自動車の電気自動車への置換・それに伴って増える電力需要に対処できる電力源は必須である。太陽光や風力などのrenewableは実効コストがすでに原子力より安くなっているものの、原子力も依然として一つの対処技術候補である。あるいは同じく原子力を利用するが、損失がどこかでキャップされるような新しい発電方式が開発され、今までDOTMのネイキッド・プット売りだったポジションをブル・プット・スプレッドに変える新技術が開発されるかもしれない。

  • なお近年のrenewable energyのコスト下落には筆者もうれしく驚かされた。安くなったrenewableのおかげで、インドでは石炭火力を、それより安いrenewableにいかに早く置き換えるか競争が行われている
    Disclosure: 筆者の個人ポートフォリオにはインドのある電力会社株が組まれている

遺伝子工学も、たとえば深海の熱水孔にいるような嫌気性細菌を改良するなどして、気候変動阻止装置の開発に大きく貢献できるかもしれない。比較的長く研究されてきたものとしては、たとえばExxonMobil社は藻に石油を吐き出させるカーボンニュートラルな algae biofuel を生産するため、強力な光を浴びても死なずにそれに比例して石油を吐き出すような遺伝子操作された特殊な藻を開発してきた。このプロジェクトはヒトゲノム計画で著名なクレイグ・ベンター博士の創業したSynthetic Genomics, Inc.がExxonMobilから投資されて始まったもので、2009年にニュースをはじめて聞いたときはこれこそが本当に意味ある遺伝子工学の利用だと思ったものである。たまたま最近のツイートで進捗を拝見したが、プロジェクトは継続しており2017年には彼らが言うところのブレイクスルーがあったようだ。Nature Biotechnologyにpublishされているそうなので筆者も読んでみようかと思う。

 

Craig’s twist (こちらは2009年に話題になったThe Economistの記事である)


チェンジング・ブルー-気候変動の謎に迫る (岩波現代文庫)

こればかりはどのツールが決定打になるか、まだ人類が観測していない側のpositiveなright tailに賭けてみるしかない。Left-tailも存在するがright tailもある「かもしれない」。Ruinが回避不能ならむしろその諦めをもとにleft tail-eventが発生する前にright tail-eventが発生する可能性に賭けることも非合理的ではない。

だがその場合においても二流ギャンブラーがご法度である一連の議論により、賭けることのできる資産は極めて限定されるべきである。そういったあたりを勘案し、研究開発としての将来性に賭けて小さいがレバレッジの効いたポジションを取りつつ、negative skewness, left-tail riskを無視した、最大投資可能金額を超えた賭けによって大勢の市民を危険にさらす運用には反対する。やるなら複利で再投資はせず定額で:つまり人口が増えてもそれに比例して規模を拡大しないこと、というあたりに筆者のいまの意見は落ち着きつつある。

  • ただこれでも実務上は困難がともなう。巨大な損失発生がありうるにも関わらず、定額で賭け続けると、例えばこんなことがおきる: 資産の1000%を失う大災害が発生したとしよう。その次も定額で賭けるということは、どこからかその失った資産1000%を丸々持ってきて補填し、巨大な借金を追いつつ運営することを意味する。単なるお金ではなく物理的インフラの場合にはそれが何を意味するか想像してほしい – たとえば荒廃した工場に巨額のお金を投下してそれらを全部復旧し災害前の元の規模と同レベルのオペレーションを動かすことになる
  • そのため定額で賭ける戦略は、損失を受けた時点で割合としてはむしろ投資額を増やしリスクテイクする性質を持っている。複利で賭ける場合は資産減額に応じて自然とリスクも減らすのとは対照的である。大損害のあとに大リスクを取るというのは実際上、また政治的にも困難な場合が多いのではないかと思う

正直なところ、筆者は原子力工学にも遺伝子工学にもメカニズム上・物理的な知識がないので具体的プロセスについては的外れなことしか言えていない。しかし同時にこれらの分野の専門家はtail riskへの本当の正しい対処法について金融の世界で培われてきた成果を真摯に吸収すべきだと考えている。筆者がしばしば驚くのは、統計学や物理学のPhDホルダーの中にモーメントが発散するという現象の本質が何なのかを全く理解していない人物がそれなりにいることだ。多くの物理現象・自然現象にはべき乗則・フラクタル性がともない、彼らにとっては解析経験が深い対象であるにも関わらず。一般市民に対して、科学的プロセスと自らの研究成果の正当性を啓蒙したいなら、彼らはこの自らの欠点を急いで補強する必要がある。期待値がプラスである限りは大きく投資しろなどという妄言は慎まなければならない。Positive skewedな賭けなら失敗してもまだ二流ギャンブラーとして笑い話で住むが、negative skewedな場合の帰結はfatalだ。人類は存続不可能な賭けは実行できないのであり、存続を前提とする限り複利の賭けの性質は必ず考慮しなければいけないのである。モーメントが有限でない賭けに人類はすでに巻き込まれてしまったためにこの存続も100%の存続と言えないのが残念ではあるが。

結論

今回はskewnessが複利前提の投資にもたらす影響に関する分析方法を紹介した。日本人労働者に蔓延するnegative skewedペイオフがもたらす無気力の問題と、その処方箋としてのコールオプション付与を説き、また従業員個人も金銭だけでものごとを考えず隠されたスキル・コールオプションの探索を自ずから行うべきだと説いた。国家がプットオプションを提供してくれることで一般市民がリスクテイクしすぎてしまう福祉国家の例と、プットセラーたちも弱い立場の人にきちんと保険を提供する大事な社会的役割を担っており、コール買いとプット売りそれ自体に何らかの優劣があるわけではないことを補足した。最後に、高次モーメントが発散する場合には複利投資が不可能(truncationなしの厳密解においては最大投資可能金額がexactにゼロ)であることを示し、期待値プラスであることのみを持ってleft-tail riskの大きな投資を過剰に行うことの危険性を警鐘しつつ、truncationを妥協・覚悟して受け入れることで一定の投資価値を見出した。またleft-tailed risk投資の要素技術の中には人類を将来救うright-tailの希望があるかもしれないことも論じた。筆者個人はpositive skewnessを好みnegative skewnessを嫌うバイアスを明確に持っているし、ブログ自体も中立性そのものを目的とはしていないが、なるべく双方の判断材料が提供された構成にはなったかと思う。サラリーマン、経営者、left-tail riskを伴う研究開発に携わる人々のいずれにも刺激になれば幸いである。

References

投稿者: rikija

機械学習・認知科学・投資アルゴリズムの研究者。作曲家 (アマチュアですが鋭意努力中) Twitter: @rikija / https://twitter.com/rikija 論文実績等は https://sites.google.com/site/rikiyatakahashi/ を参照

“あなたの中にあるコールオプションを見つけて欲しい” への 2 件のフィードバック

  1. 読むのが大変でしたが、とても面白い内容の記事でした。
    1点質問があるのですが、オーストリア学派の方々は「統計的な解析やモデル化」を否定して、個人の行動に焦点をあてるというのが主の考え方のようでした。

    高橋さんの記事を読んだ後に、マーク・スピッツナーゲルさんの「ブラックスワンの回避法」を読んでいてそちらに解説があったのですが、高橋さんもオーストリア学派の思想を取り入れつつ、数理的な問題解決に落とし込んでいっているように感じたので(違ったら申し訳ありません)、統計的な解析やモデル化を否定している思想を数理化するという試みなのかと非常に興味がわきました。

    もしよろしければどんな考え方をしているか、その過程で参考にした書籍や論文などを教えていただけると幸いです。

    いいね

    1. ご感想ありがとうごさいます。Spitznagelの著作が邦訳されてるとは知りませんでしたが、「ブラックスワン回避法」はThe Dao of Capitalの日本語版のようですね。

      まず、SpitznagelやTaleb自体はアナリティカルな方法を多用していることをお伝えしておきます。Taleb ( http://www.fooledbyrandomness.com/PrecautionaryPrinciple.html など)の研究ページにいって彼の論文を追ってみればかなり数学を駆使した議論が多いことがすぐわかります。研究は数理的分析を用いつつ、BlackswanやAntifragileといった一般向け読み物では寓話を多用するのが彼のスタイルです。

      Spitznagelも同様です。一般の投資家や市民に詳しく説明する時間もないから彼らが話さないだけで、たとえばThe Dao of Capitalに例として出てくるS&P500の30%以上のOTM putを0.5%だけ買うというやり方はKelly Criterionの最大化から導かれる投資法そのものです。彼もたびたびKellyについて言及しています。率直にいって、主流派の経済学者が彼らの使っている数学や不確実性の分析方法を真面目に追ってないがために主張を理解していないだけというのが実態だと思います。オリジナルのオーストリア学派がアナリティカルな方法に一定の否定的見解を持っているのはその通りだと思いますし、ポパーの「開かれた社会とその敵」にしてもそうしたトップダウンな数理的方法を否定するところから民主主義の擁護がスタートしますが、その正当性を分析しようとすると再度(不確実性の取り扱いなどを少しだけマシにした)数理的な方法が出てくるというところですね。
      https://www.pionline.com/article/20180309/ONLINE/180309846/commentary-thanks-to-volatility-you-cant-always-get-what-you-want-in-investing

      私の記事に関しては、彼らとは品質の点でまだ比べるべくもありませんが、私が数理的な形に落とし込んで議論しているのは結局それが(ある程度以上の教育を受けた人であれば) 万人にとってコンセンサスが取りやすいからです。単なる効用関数の議論で済むところを無駄に哲学者の名前などを出してきたりして議論をケムに巻くと伝わるものも伝わらなくなってしまいます。Talebを経済学者がしばしば無視することで起きる問題と同様、ある種の研究者コミュニティで使われている数学の幅が狭すぎることが一つの問題だと思っているんですね(今回の記事でいえば期待値がプラスかどうかばかり気にしている人たちは好例だと思います)。

      ブログの元となるインスピレーションについては、特に何かの書籍を参考にしているというよりは、私の同業者とのコミュニケーション経験の影響が大きいというのがお答えですね。結構な数の研究者が、割とすぐタコツボにハマりやすいんだなというのが元々の着眼点になっています。それでもTalebの著作 (書籍よりは彼のホームページにアップロードされている論文)の影響はかなり出ていると思います。以上少しでもヒントになれば幸いです。

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